“本科阶段的泛函分析我们以学习线性泛函分析分析为主，非线性泛函分析一般要等到研究生阶段才开始学习。线性泛函分析主要内容，归纳起来，就是我们常说的一王一后以及四大天王。一王一后就是贝尔纲定理和hahn-banach定理，四大天王分别是开映射定理，闭图像定理，
banach-steinhaus定理，闭值域，mazur定理……”
这是一堂复习课，那老师也不多话，直接在课堂上开讲：“今天，我们就从一王一后以及四大天王入手，梳理本学期所学过的相关知识点，包括闭算子的谱分析，对称算子的自伴延，算子半群理论，线性单调算子，算子代数……”
庞学林在座位上打了个哈欠，他居住的那个招待所隔音效果一般，昨晚没睡好，这几天又一直在赶路，他着实有些累了。再加上老师讲课时还带了部分方言口音，语气不温不火，虽然讲的内容没什么问题，但还是让人感觉犯困。
庞学林不知不觉闭上了眼。
也不知过了多久，庞学林突然被一阵喧闹声吵醒。
他有些茫然地睁开眼，便发现教室里不少学生正用戏谑的眼神看着自己。
讲台上，那位秃道：“同学，这道题，你来解吧！”
庞学林点了点头，看着黑板上的题目。
【设e，
f是两个banach空间，令
a:d(a)??e→f为一个闭算子，且
d(a)??=e。求证：d(a??)??σ(f′，f)=f′d(a??)??σ(f′，f)=f′。
其中
a??是a的伴随算子，f′是f的对偶空间，σ(f′，f)为f′上的弱*拓扑，
d(a??)??σ(f′，f)表示
d(a??)在弱*拓扑σ(f′，f)下的闭包。】
将题目浏览完，庞学林几乎没怎么思考，直接开始在下面写下答案。
【结论
1：设f是e的子向量空间满足f??≠e.则存在
f∈e'不为
0，使得(f，x)=0，??x∈f。
结论2：设??:e′→r是线性映射，且对拓扑σ(e′，e)连续，则存在
x∈e使得??(f)=(f，x)，??f∈e′。
证明：设??是f′上对拓扑σ(f′，f)连续的线性泛函，在d(a??)上取值为0。由结论1，为证弱*拓扑下的稠密性，只需证明??≡0。
由结论
2，存在x∈f使得……】
庞学林的书写速度很快，整个证明过程几乎没怎么停顿，只用了不到两分钟，就完成了答题工作。
“老师，答完了，应该没什么问题吧？”